在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆O 1 和半圆O 2 ，其中O 1 和O 2 分别为两个半圆的圆心
在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆O 1 和半圆O 2 ，其中O 1 和O 2 分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点． （1）如图一，连接O 1 F，O 1 D，DF，O 2 F，O 2 E，EF，证明：△DO 1 F≌△FO 2 E； （2）过点A分别作半圆O 1 和半圆O 2 的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，①如图二，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求线段PQ的长；②如图三，若连接FA，猜想PQ与FA的位置关系，并说明你的结论． |
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（1）证明：如图一，
∵O 1 ，O 2 ，F分别是AB，AC，BC边的中点，
∴O 1 F ∥ AC且O 1 F=AO 2 ，O 2 F ∥ AB且O 2 F=AO 1 ，
∴∠BO 1 F=∠BAC，∠CO 2 F=∠BAC，
∴∠BO 1 F=∠CO 2 F
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，
∴O 1 F=AO 2 =O 2 E，O 2 F=AO 1 =O 1 D，∠BO 1 D=90°，∠CO 2 E=90°，
∴∠BO 1 D=∠CO 2 E．
∴∠DO 1 F=∠FO 2 E．
∴△DO 1 F≌△FO 2 E．
（2）①如图二，延长CA至G，使AG=AQ，连接BG、AE．
∵点E是半圆O 2 圆弧的中点，
∴AE=CE=3
∵AC为直径
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠EAC=45°，AC=
A E 2 +C E 2 = 3
2 ，
∵AQ是半圆O 2 的切线，
∴CA⊥AQ，
∴∠CAQ=90°，
∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°
∴AQ=AC=AG= 3
2
同理：∠BAP=90°，AB=AP= 5
2
∴CG= 6
2 ，∠GAB=∠QAP
∴△AQP≌△AGB．
∴PQ=BG
∵∠ACB=90°，
∴BC=
A B 2 -A C 2 = 4
2
∴BG=
G C 2 +B C 2 = 2
26
∴PQ= 2
26 ．
②PQ⊥AF．
∵O 1 ，O 2 ，F分别是AB，AC，BC边的中点，
∴O 1 F ∥ AC且O 1 F=AO 2 ，O 2 F ∥ AB且O 2 F=AO 1 ，
∴∠BO 1 F=∠BAC，∠CO 2 F=∠BAC，
∴∠BO 1 F=∠CO 2 F
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，
∴O 1 F=AO 2 =O 2 E，O 2 F=AO 1 =O 1 D，∠BO 1 D=90°，∠CO 2 E=90°，
∴∠BO 1 D=∠CO 2 E．
∴∠DO 1 F=∠FO 2 E．
∴△DO 1 F≌△FO 2 E．
（2）①如图二，延长CA至G，使AG=AQ，连接BG、AE．
∵点E是半圆O 2 圆弧的中点，
∴AE=CE=3
∵AC为直径
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠EAC=45°，AC=
A E 2 +C E 2 = 3
2 ，
∵AQ是半圆O 2 的切线，
∴CA⊥AQ，
∴∠CAQ=90°，
∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°
∴AQ=AC=AG= 3
2
同理：∠BAP=90°，AB=AP= 5
2
∴CG= 6
2 ，∠GAB=∠QAP
∴△AQP≌△AGB．
∴PQ=BG
∵∠ACB=90°，
∴BC=
A B 2 -A C 2 = 4
2
∴BG=
G C 2 +B C 2 = 2
26
∴PQ= 2
26 ．
②PQ⊥AF．
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