实系数一元二次方程x 2 +ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：

（1）设f（x）=x ² +ax+2b，
∵方程x ² +ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，
∴可得

f(0)＞0
f(1)＜0
f(2)＞0 ，即

b＞0
a+2b+1＜0
a+b+2＞0 ．
作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，
得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）．
其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0），
∴ S △ABC =
1
2 |BC|× y A =
1
2 ×1×1=
1
2 ，即为点（a，b）对应的区域的面积．

（2）设点E（a，b）为区域内的任意一点，
则k=
b-2
a-1 ，表示点E（a，b）与点D（1，2）连线的斜率
∵ k AD =
2-1
1+3 =
1
4 ， k CD =
2-0
1+1 =1 ，结合图形可知： k AD ＜
b-2
a-1 ＜ k CD ，
∴
b-2
a-1 的取值范围是 (
1
4 ，1) ；
（3）设点E（a，b）为区域内的任意一点，
可得|DE| ² =（a-1） ² +（b-2） ² ，表示区域内的点D、E之间距离的平方
运动点E，可得当E在C点时满足|DE| ² =（-1-1） ² +（0-2） ² =8，
在当E在A点满足|DE| ² =（-3-1） ² +（1-2） ² =17．
由此可得（a-1） ² +（b-2） ² 取值范围为：（8，17）．