在平面直角坐标系xoy中，过点C（p，0）的直线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A、B两点．设A（x1，y1），B（

解题思路：（1）法一：当直线AB垂直于x轴时，y1y2＝−2p2；当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=k（x-p），由y＝k(x−p)y2＝2px，得ky2-2py-2p2k=0，y1y2＝−2p2为定值．（1）法二：设直线AB的方程为my=x-p，由my＝x−py2＝2px，得y2-2pmy-2p2=0，由此利用韦达定理能证明y1y2＝−2p2为定值．（2）设存在直线l：x=a满足条件，则AC的中点E(x1+p2，y12)，AC＝(x1−p)2+y12，由已知条件推导出当p-2a=0即a＝p2时，弦长4p•p2−4×p24＝p为定值，这时直线方程为x=p2．

（1）证法一：当直线AB垂直于x轴时，
y1＝
2p，y2＝−
2p，
因此y1y2＝−2p2（定值），（2分）
当直线AB不垂直于x轴时，
设直线AB的方程为y=k（x-p）
由

y＝k(x−p)
y2＝2px，得ky²-2py-2p²k=0，∴y1y2＝−2p2，
因此有y1y2＝−2p2为定值．（4分）
（1）证法二：设直线AB的方程为my=x-p，
由

my＝x−p
y2＝2px，得y²-2pmy-2p²=0，（2分）
∴y1y2＝−2p2，
因此有y1y2＝−2p2为定值．（4分）
（2）设存在直线l：x=a满足条件，
则AC的中点E(
x1+p
2，
y1
2)，AC＝
(x1−p)2+y12，
因此以AC为直径的圆的半径r＝
1
2AC＝
1
2
(x1−p)2+y12＝
1
2
x12+p2，
E点到直线x=a的距离d＝|
x1+p
2−a|，（7分）
所以所截弦长为2
r2−d2＝2

1
4(x12+p2)−(
x1+p
2−a)2=
x12+p2−(x1+p−2a)2
=
−2x1(p−2a)+4ap−4a2，（10分）
当p-2a=0即a＝
p
2时，弦长
4p•
p
2−4×
p2
4＝p为定值，
这时直线方程为x=[p/2]．（12分）．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查两点纵坐标的乘积为定值的证明，考查平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值的直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．