已知函数f（x）=x 2 ，g（x）=x-1．

（1）由∃x∈R，f（x）＜b•g（x），得∃x∈R，x ² -bx+b＜0，
∴△=（-b） ² -4b＞0，解得b＜0或b＞4，
∴实数b的取值范围是（-∞，0）∪（4，+∞）；
（2）由题设得F（x）=x ² -mx+1-m ² ，
对称轴方程为 x=
m
2 ，△=m ² -4（1-m ² ）=5m ² -4，
由于|F（x）|在[0，1]上单调递增，则有：
①当△≤0即 -
2
5
5 ＜m＜
2
5
5 时，有


m
2 ≤0
-
2
5
5 ≤m≤
2
5
5 ，解得 -
2
5
5 ≤m≤0 ，
②当△＞0即 m＜-
2
5
5 或 m＞
2
5
5 时，设方程F（x）=0的根为x ₁ ，x ₂ （x ₁ ＜x ₂ ），
若 m＞
2
5
5 ，则
m
2 ＞

5
5 ，有

m/2≥1
x 1 ＜0⇔F(0)=1- m 2 ＜0. 解得m≥2；
若 m＜-
2
5
5 ，即
m
2 ＜-

5
5 ，有x ₁ ＜0，x ₂ ≤0；得F（0）=1-m ² ≥0，有-1≤m≤1，
∴ -1≤m＜-
2
5
5 ；
综上所述，实数m的取值范围是[-1，0]∪[2，+∞）．