已知：用两个边长为3全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD且，把一个含60°的三角尺与这个菱形叠合；如果使三

解题思路：（1）①BE=CF，理由为：由三角形ABC与三角形ACD都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到一对角相等，一对边相等，利用等式的性质得到另一对角相等，利用ASA得到三角形ABE与三角形ACF全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
②由三角形ABE与三角形ACF全等，得到两三角形面积相等，AE=AF，根据等边三角形ABC的边长为3，求出四边形AECF的面积，即为三角形ABC的面积，表示出三角形ECF的面积，当AE垂直于BC时，三角形AEF面积最小时，三角形ECF面积最大，求出此时AE的长，确定此三角形AEF的面积，即可求出三角形ECF面积的最大值；
（2）将△ABM绕点A逆时针旋转120°得到△ADP，其中AM=AP，AB=AD，BM=PD，由三角形ADP全等于三角形ABM，得到对应角∠PAD=∠BAM，再由∠EAF=60°，∠CAD=60°，利用等式的性质得到一对角相等，利用SAS得到三角形ADP与三角形ABM全等，利用全等三角形的对应边相等得到MN=PN，又在△PND中，MN=PN，BM=PD，故△PND即为以MN，BM，ND为边的三角形，易知∠PDN=60°，所以△PND为直角三角形的情况分为两种：①∠PND=90°，如图4所示，求出此时BM的长；②∠NPD=90°，如图5所示，求出此时BM的长即可．

（1）∵△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠B=∠ACD=60°，∠BAC=60°，AB=AC，
又∵∠EAF=60°，且∠BAE=∠BAC-∠AEC=60°-∠AEC，∠CAF=∠EAF-∠AEC=60°-∠AEC，
∴∠BAE=∠CAF，
又∵在△ABE和△ACF中，


∠BAE＝∠CAF
AB＝AC
∠B＝∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
（2）∵△ABE≌△ACF，
∴S_△ACF=S_△ABE，AE=AF，
又∵等边△ABC的边长为3，且S_{四边形AECF}=S_△AEC+S_△ACF，S_△ABC=S_△AEC+S_△ABE，
∴S_{四边形AECF}=S_△ABC=[1/2]×3×
3
3
2=
9
3
4，
∴S_△ECF=S_{四边形AECF}-S_△AEF=S_△ABC-S_△AEF=
9
3
4-S_△AEF，
又∵∠EAF=60°，AE=AF，
∴△AEF为等边三角形，
∴三角尺运动过程中，当AE⊥BC时，S_△AEF最小，S_△ECF最大，
∴当AE⊥BC时，AE=
3
3
2，S_△AEF=[1/2]×[9/4]×
3
3
2=
27
3
16，
则S_△ECF=
9
3
4-S_△AEF═
9
3
4-
27
3
16=
9
3
16；
（3）将△ABM绕点A逆时针旋转120°得到△ADP，其中AM=AP，AB=AD，BM=PD，
∵△ADP≌△ABM，
∴∠PAD=∠BAM，
又∵∠EAF=60°，∠CAD=60°，∠EAC=∠EAF-∠FAC=60°-∠FAC，
∴∠DAF=∠CAD-∠FAC=60°-∠FAC，
∴∠EAC=∠DAF，
∴∠PAN=∠PAD+∠DAF=∠BAM+∠EAC=∠BAC=60°，
又∵在△AMN和△APN中，


AM＝AP
∠MAN＝∠PAN
AN＝AN，
∴△AMN≌△APN（SAS），
∴MN=PN，
又∵在△PND中，MN=PN，BM=PD，
∴△PND即为以MN，BM，ND为边的三角形，
易知∠PDN=60°，
所以△PND为直角三角形的情况分为两种：
①∠PND=90°，如图4所示，
∵Rt△PND中，∠PDN=60°且BD=3
3，
∴ND=[1/2]PD，PN=

3
2PD，
则BD=BM+MN+ND=PD+PN+ND，即3
3=PD+[1/2]PD+

3
2PD，
则BM=PD=3
3-3；

②∠NPD=90°，如图5所示，
∵Rt△PND中，∠PDN=60°且BD=3
3，
∴ND=2PD，PN=
3PD，
∴BD=BM+MN+ND=PD+PN+ND，即3
3=PD+2PD+
3PD，
则BM=PD=
3
3−3
2．

点评：
本题考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质．

考点点评： 此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，是一道综合性较强的探究题．