观察，分析，猜想并对猜想的正确性予以说明．

解题思路：根据题意可看出，等号左边，第一个数是n，第2个数是n+1，第3个数是n+2，第4个数n+3，等号左边是：[n（n+3）+1]²故n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]²．

∵1×2×3×4+1=[（1×4）+1]²=5²
2×3×4×5+1=[（2×5）+1]²=11²
3×4×5×6+1=[（3×6）+1]²=19²
4×5×6×7+1=[（4×7）+1]²=29²
∴n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]²．
故答案为[n（n+3）+1]²．

点评：
本题考点： 规律型：数字的变化类．

考点点评： 主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示变化规律是此类题目中的难点．

猜想：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)+1]^2
证明：当n=1,2时显然成立
假设对n=k时等式成立，即k(k+1)(k+2)(k+3)+1=[k(k+3)+1]^2
则当n=k+1时
左边=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)+1=k(k+1)(k+2)(k+3)+1+4(k+1)(k+2)(k+3)
=[k(k+3)+1...