A为mxn矩阵,秩为m,B为nx（n-m）矩阵,秩为n-m,AB=0,a是满足Aa=0的一个n维列向量,

由于A的秩为m,因此,齐次线性方程组 AX=0的解空间的维数为n-m
将B按列分块,设B=[ξ1,ξ2,ξ3,...,ξn-m]
由于AB=0,因此 B的每一列ξi,都是线性方程组 AX=0 的解.
而B有n-m 列,且B的秩为n-m,于是B的n-m列,线性无关,于是B的n-m列
ξ1,ξ2,ξ3,...,ξn-m就是齐次线性方程组AX=0 的n-m个线性无关的解,因而构成一个基础解系.
由于Aa=0,因此a为齐次线性方程组的一个解,于是a能被ξ1,ξ2,ξ3,...,ξn-m线性表示,且表示法唯一.即存在唯一的一组数k1,k2,...,kn-m 使得：
a=k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3+...+kn-mξn-m.(1)
记 b=[k1,k2,...,kn-m]的转置,则b为n-m维列向量,于是(1)式写成矩阵乘法,就是：
a=B