设函数f(x)=x^2+bx+c（bc为常数）,方程f(x)=x的两实根为x1x2,且满足x1>0,x2-x1>1.(1
设函数f(x)=x^2+bx+c（bc为常数）,方程f(x)=x的两实根为x1x2,且满足x1>0,x2-x1>1.(1)求证;b^2》2（b+2c)
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由韦达定理得x1+x2=-b x1x2=c
故b^2=(x1+x2)^2
2(b+2c)=4x1x2-2x1-2x2
即b^2-2(b+2c)=(x1+x2)^2-4x1x2+2x1+2x2
=x1^2+2x1x2+x2^2-4x1x2+2x1+2x2
=(x1-x2)^2+2x1+2x2
由x1>0,x2-x1>1.即x2>x1+1>1,(x1-x2)^2>0
故(x1-x2)^2+2x1+2x2>2即(x1-x2)^2+2x1+2x2>0
亦即b^2>2(b+2c)
故b^2=(x1+x2)^2
2(b+2c)=4x1x2-2x1-2x2
即b^2-2(b+2c)=(x1+x2)^2-4x1x2+2x1+2x2
=x1^2+2x1x2+x2^2-4x1x2+2x1+2x2
=(x1-x2)^2+2x1+2x2
由x1>0,x2-x1>1.即x2>x1+1>1,(x1-x2)^2>0
故(x1-x2)^2+2x1+2x2>2即(x1-x2)^2+2x1+2x2>0
亦即b^2>2(b+2c)
1年前
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