已知椭圆的焦距,短轴长,长轴长成等差数列,求该椭圆的离心率

设长轴为2a,短轴为2b,焦距为2c
焦距,短轴长,长轴长成等差数列,即2b-2c=2a-2b,所以2b = a+c
两边同时平方：4b^2 = (a+c)^2
椭圆性质：a^2=b^2+c^2 --> b^2 = a^2 - c^2
所以4(a^2 - c^2）= (a+c)^2
等式两边同时除以a^2,得到4 - 4(c/a)^2 = (1+c/a)^2
将椭圆离心率 e = c/a代入上式得到 4 - 4e^2 = (1+e)^2
化简得：5e^2 + 2e - 3 = 0
可以解出 e=3/5 或 e=-1
椭圆离心率是大于0且小于1的,所以e=-1这个解要舍去
所以该椭圆的离心率e=3/5

2b=c+a
b的平方=a的平方-c的平方
联立上式，得到关于a和c的关系式，a=3c
所以离心率为三分之一