记定义在[-1，1]上的函数f（x）=x 2 +px+q（p，q∈R）的最大值与最小值分别为M，m．又记h（p）=M-m

（Ⅰ） 0≤p≤2⇒-1≤-
p
2 ≤0 ，又f（x）图象开口向上，
∴ M=f(1)=1+p+q，m=f(-
p
2 )=q-
p 2
4
∴ h(p)=M-m=
1
4 (p+2 ) 2 ≥1 （4分）
（Ⅱ） h(p)=

-2p

(p＜-2)

1
4 (p-2) 2 ，

(-2≤p＜0)

1
4 (p+2) 2 ，

(0≤p≤2)
2p，



，

(p＞2)
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 h(p)=M-m=

-2p＞4

(p＜-2)

1
4 (p-2) 2 ＞1，

(-2≤p＜0)

1
4 (p+2) 2 ≥1，

(0≤p≤2)
2p＞4，



，

(p＞2) ，∴M-m≥1．
∵在[-1，1]上，总有 |f(x) | max ≥
M-m
2 ，当且仅当M=-m时取”=”；
又，
M-m
2 ≥
1
2 ，当且仅当p=0时取“=”，
∴当
M-m
2 =
1
2 时的f（x）符合条件．
此时，p=0，M=1+q，m=q．由M=-m得1+q=-q．∴ q=-
1
2
即所求函数为：f（x）= x 2 -
1
2 ．（13分）