如图，已知Rt△ABC的面积为S，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作

易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁与△CD₁E₁同底同高，面积相等，以此类推；
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D₁E₁=[1/2]BC，CE₁=[1/2]AC，S₁=[1/2]×[1/2]BC•CE₁=[1/2]×[1/2]BC×[1/2]AC=[1/2]×[1/2]AC•BC=[1/4]S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂为其重心，
∴D₂E₁=[1/3]BE₁，
∴D₂E₂=[1/3]BC，CE₂=[1/3]AC，S₂=[1/3]×[1/3]×[1/2]×AC•BC=[1/9]S_△ABC，
∴D₃E₃=[1/4]BC，CE₂=[1/4]AC，S₃=[1/16]S_△ABC…；
∴S_n=[1
(n+1)2S_△ABC=
s
(n+1)2．
故答案为：
s
(n+1)2．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题主要考查相似三角形的判定与性质和三角形的重心等知识，解决本题的关键是根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质得到第一个三角形的面积与原三角形的面积的规律．也考查了重心的性质即三角形三边中线的交点到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．

1年前

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