（2010•德阳二模）在数列{an}中，若an2-an-12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{an}为“等方差数
（2010•德阳二模）在数列{an}中，若an2-an-12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；
①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列；
②{（-1）n}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；
④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为______．（将所有正确的命题序号填在横线上）
①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列；
②{（-1）n}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；
④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为______．（将所有正确的命题序号填在横线上）
赞 998755 春芽
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解题思路：根据等差数列的性质及题中的等方差数列的新定义，即可判断出正确的答案．
①因为{an}是等方差数列，所以an2-an-12=p（n≥2，n∈N×，p为常数）成立，
得到{an2}为首项是a12，公差为p的等差数列；
②因为an2-an-12=（-1）2n-（-1）2n-1=1-（-1）=2，所以数列{（-1）n}是等方差数列；
③数列{an}中的项列举出来是：a1，a2，…，ak，ak+1，ak+2，…，a2k，…，a3k，…
数列{akn}中的项列举出来是：ak，a2k，a3k，…
因为ak+12-ak2=ak+22-ak+12=ak+32-ak+22=…=a2k2-ak2=p
所以（ak+12-ak2）+（ak+22-ak+12）+（ak+32-ak+22）+…+（a2k2-a2k-12）=a2k2-ak2=kp，
类似地有akn2-akn-12=akn-12-akn-22=…=akn+32-akn+22=akn+22-akn+12=akn+12-akn2=p
同上连加可得akn+12-akn2=kp，所以，数列{akn}是等方差数列；
④{an}既是等方差数列，又是等差数列，所以an2-an-12=p，且an-an-1=d（d≠0），所以an+an-1=[p/d]，联立解得an=[d/2]+[p/2d]，
所以{an}为常数列，当d=0时，显然{an}为常数列，所以该数列为常数列．
综上，正确答案的序号为：①②③④
故答案为：①②③④
点评：
本题考点： 等差数列的性质．
考点点评： 此题考查学生灵活运用等差数列的性质及新定义等方差数列化简求值，是一道中档题．
1年前
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