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(1)设点P的坐标为(xp,yp),连接PC.
则PC^2=xp^2+(yp-1)^2
由题可知圆C的半径为1
∴PM^2=PN^2=PC^2-1=xp^2+yp^2-2*yp
四边形PMCN的面积S=⊿PCM的面积+⊿PCN的面积
∴S^2= xp^2+yp^2-2*yp
∵k*xp+yp+4=0
∴S^2= xp^2+(-k*xp-4)^2-2*(-k*xp-4)
=(1+k^2)*xp^2+10*k*xp+24
由二次曲线方程性质可知,当xp=-10*k/[2*(1+k^2)]时,S有最小值.
Smin^2=(1+k^2)*{-10*k/[2*(1+k^2)]}^2+10*k*{-10*k/[2*(1+k^2)]}+24
=-25*k^2/(1+k^2)+24
∵Smin^2=4
∴-25*k^2/(1+k^2)+24=4
解得k^2=4,
∵k>0
∴k=2
(2)设点A的坐标为(xa,ya),点B的坐标为(xb,yb)
则有xa^2+(ya-1)^2=1
∴2*ya=xa^2+ya^2(等式1)
xa^2=2*ya-ya^2(等式2)
同理2*yb=xb^2+yb^2(等式3)
xb^2=2*yb-yb^2(等式4)
∵∣OA∣∣OB∣=1
∴(xa^2+ya^2)*( xb^2+yb^2)=1
由等式1、3得到4*ya*yb=1(等式5)
设直线AB的方程式为y=kx+b
由直线性质可知,该直线到坐标原点O的距离h=|b|/√(1+k^2)
∵ya=k*xa+b,yb=k*xb+b
假设xa≠xb,解方程组得到
k=(ya-yb)/(xa-xb)
b=(yb*xa-ya*xb)/(xa-xb)
则h^2=( yb*xa-ya*xb)^2/[(xa-xb)^2+(ya-yb)^2]
=(yb^2*xa^2-2*xa*xb*ya*yb+ya^2*xb^2)/(xa^2-2*xa*xb+xb^2+ya^2-2*ya*yb+yb^2)
将等式2、4、5代入上式中,得到:
h^2=[(ya+yb)/2-xa*xb/2-1/8]/[2*(ya+yb)-2*xa*xb-1/2]
=1/4
h=1/2
因此,圆心在O,半径为1/2的定圆始终与直线AB相切.
当xa=xb=±1/2时,直线AB垂直X轴,则ya=1+√3/2,yb=1-√3/2
ya*yb=1/4,满足题设条件,半径为1/2的圆与直线AB相切.
所以,圆心在原点的半径为1/2的定圆与直线AB恒相切.
1年前
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