如图①,抛物线C1：y=ax²+bx+2与直线AB：y=1/2x+1/2交于x轴上一点A,和另一点B（3,n)

如图①,抛物线C1：y=ax²+bx+2与直线AB：y=1/2x+1/2交于x轴上一点A,和另一点B（3,n)
（1）求抛物线C1的解析式
（2）)点P是抛物线A,B两点间部分上的一个动点（点P在A,B两点之间,但不包括A,B两点）,PM⊥AB于点M,PN∥y轴交AB于点N,在点P的运动过程中,存在某一位置,使得△PMN的周长最长,求此时P 点的坐标,并求△PMN周长的最大值.
（3）如图②,将抛物线C1绕顶点旋转180°后,再做适当平移得到抛物线C2,已知抛物线C2的顶点E在第四象限的抛物线C1上,且抛物线C2与抛物线C1交于点D,过D点作x轴的平行线交抛物线C2于点F,过E点作x轴的平行线交抛物线C1于点G,是否存在这样的抛物线C2,使得四边形DFEG为菱形?若存在,请求E点的横坐标；若不存在请说明理由.