已知a∈R且a≠1，求函数f(x)＝ax+1x+1在[1，4]上的最值．

任取x₁，x₂∈[1，4]，且x₁＜x₂，
则f(x1)−f(x2)＝
ax1+1
x1+1−
ax2+1
x2+1=
(x1−x2)(a−1)
(x1+1)(x2+1)，
∵x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，又a∈R且a≠1，
所以，当a＞1时，a-1＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
函数f（x）在[1，4]上是增函数，
最大值为f(4)＝
4a+1
5，最小值为f(1)＝
a+1
2．
当a＜1时，a-1＜0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），
函数f（x）在[1，4]上是减函数，
最大值为f(1)＝
a+1
2，最小值为f(4)＝
4a+1
5．

点评：
本题考点： 函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数的单调性及其应用，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．