已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，F1、F2分别为其左、右焦点，P在椭圆上任意一点，且F1P•F2P的最大值为1

已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，F₁、F₂分别为其左、右焦点，P在椭圆上任意一点，且

F1P

•

F2P

的最大值为1，最小值为-2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A为椭圆C的右顶点，直线l是与椭圆交于M、N两点的任意一条直线，若AM⊥AN，证明直线l过定点．

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解题思路：（1）设椭圆方程为

＝1(a＞b＞0)，p（x₀，y₀）为椭圆上任意一点，

F1P

•

F2P

＝x02+y02−c2，由

x02

y02

＝1，知

F1P

•

F2P

＝x02+b2−

x02−c2=

x02+b2−c2．由此能求出椭圆方程．
（2）①若直线l不垂直于x轴，设该直线方程为y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y＝kx+m

+y2＝1

得x²+4（k²x²+2kmx+m²）=4，由此能求出l：y＝−

mx+m＝m(−

x+1)过定点（[6/5，0）．②若直线l垂直于x轴，设l与x轴交于点（x₀，0），由椭圆的对称性知△MNA为等腰Rt△，

1−

x02

＝2−x0，解得x0＝

5]此时直线l也过定点（

，0）．由此知，直线l恒过定点（

，0）．

（1）设椭圆方程为
x2
a2+
y2
b2＝1(a＞b＞0)，p（x₀，y₀）为椭圆上任意一点，
∴

F1P＝(x0+c，y0)，

F2p＝(x0−c，y0)，
∴

F1P•

F2P＝x02+y02−c2，
∵
x02
a2+
y02
b2＝1，
∴

F1P•

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

1年前

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