试用两种方法证明：（1）C0n+C1n+…+Cnn＝2n(n∈N*)；（2）C1n+2C2n+…+nCnn＝n2n−1(

解题思路：（1）方法1：在等式(1+x)n＝1+C1nx+…+Cnnxn(n∈N*)中，令x=1，可得C0n+C1n+…+Cnn＝2n(n∈N*)成立．方法2：用数学归纳法进行证明．（2）方法1：根据组合数的计算公式可得 kCkn=nCk−1n−1，所以，C1n+2C2n+…+nCnn=n（C0n−1+C1n−1+…+Cn−1n−1 ）=n2n-1．方法2：由 （1+x）n=1+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn （n≥2，且 n∈N*），对等式两边求导，再令x=1，可得C1n+2C2n+…+nCnn＝n2n−1(n∈N*且n≥2)．

（1）证明：方法1：由(1+x)n＝1+
C1nx+…+
Cnnxn(n∈N*)
令x=1，得
C0n+
C1n+…+
Cnn＝2n(n∈N*)．…（3分）
方法2：数学归纳法：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k时，
C0k+
C1k+…+
Ckk＝2k(k∈N*)，
则当n=k+1时，由
C0k+1
＝C0k，
Crk+1=
Cr−1k+
Crk，
Ck+1k+1=
Ckk，
所以，
C0k+1+
C1k+1+
C2k+1+…+
Ck+1k+1=
C0k+（
C0k
+C1k）+（
C1k
+C2k）+…+（
Ck−1k
+Ckk）+
Ckk
=2（
C0k
+C1k+…+
Ck−1k
+Ckk=2•2^k=2^k+1，
由①②，等式对于任意n∈N^*恒成立．…（7分）
（2）方法1：由于k
Ckn=k
n!
k!(n−k)!=
n!
(n−k)!(k−1)!，n
Ck−1n−1=n
(n−1)!
(n−k)!(k−1)!=
n!
(n−k)!(k−1)!，
∴k
Ckn=n
Ck−1n−1，…（9分）
所以，
C1n+2
C2n+…+n
Cnn=n
C0n−1+n
C1n−1+…+n
Cn−1n−1=n（
C0n−1+
C1n−1+…+
Cn−1n−1 ）=n2^n-1．…（11分）
方法2：由 （1+x）ⁿ=1+
C1nx+
C2nx²+…+
Cnnxⁿ （n≥2，且 n∈N^*），
两边求导，得 n（1+x）^n-1=1+2
C2nx+3
C3n•x²+…+n
Cnnx^n-1，…（14分）
令x=1，得
C1n+2
C2n+…+n
Cnn＝n2n−1(n∈N*且n≥2)．…（15分）

点评：
本题考点： 二项式定理的应用；组合数公式的推导．

考点点评： 本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式、用数学归纳法证明等式，属于中档题．