定义在R1的函数f（x）满足：如果对任意x 1 ，x 2 ∈R，都有 f( x 1 + x 2 2 )≤ 1 2 [f(

（1）证明：∵二次函数f（x）=ax ² +x
∴任取x ₁ ，x ₂ ∈k，则 f(
x 1 + x 2
2 )-
1
2 [f( x 1 )+f( x 2 )] =a（
x 1 + x 2
2 ） ² +
x 1 + x 2
2 -
1
2 （ a
x 21 + x 1 + a
x 22 + x 2 ）=-
1
2 a( x 1 - x 2 ) 2
∵a＞0， ( x 1 - x 2 ) 2 ≥0 ，∴
1
2 a ( x 1 - x 2 ) 2 ≥0
∴ f(
x 1 + x 2
2 )-
1
2 [f( x 1 )+f( x 2 )]≤0
∴ f(
x 1 + x 2
2 )≤
1
2 [f( x 1 )+f( x 2 )]
∴当a＞0时，函数f（x）的凹函数；
（2）由-1≤f（x）=ax ² +x≤1，则有ax ² ≥-x-1且ax ² ≤-x+1．
（i）若x=0时，则a∈k恒成立，
（ii）若x∈（0，1]时，有 a≥-
1
x -
1
x 2 且a≤-
1
x +
1
x 2
∴a≥-
1
x -
1
x 2 =-（
1
x +
1
2 ） ² +
1
4 且a≤-
1
x +
1
x 2 =（
1
x -
1
2 ） ² -
1
4 ，
∵0＜x≤1，∴
1
x ≥1．
∴当
1
x =1时，-（
1
x +
1
2 ） ² +
1
4 的最4值为-（1+
1
2 ） ² +
1
4 =-2，（
1
x -
1
2 ） ² -
1
4 的最小值为（1-
1
2 ） ² -
1
4 =0
∴0≥a≥-2．
综（i）（ii）知，0≥a≥-2