过椭圆2*x^2+y^2=2的一个焦点作直线交椭圆于p、q,o为原点,则opq的面积最大值是

过椭圆2*x^2+y^2=2的一个焦点作直线交椭圆于p、q,o为原点,则opq的面积最大值是多少?
椭圆方程：y²/2+x²=1
a²=2,b²=1
c²=a²-b²=1
我们取过焦点（0,1）的直线y=kx+1
k=0时,y=1代入椭圆x=±√2/2
此时S△OPQ=1/2×(√2/2+v2/2)×1=√2/2
k≠0时
与椭圆联立
2x²+k²x²+2kx+1=2
(k²+2)x²+2kx-1=0
x1+x2=-2k/(k²+2)
x1*x2=-1/(k²+1)
圆心到PQ的距离d=1/√(1+k²)
PQ=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1*x2]
S△OPQ=1/2×d×PQ=1/2√[4k²/(k²+2)²+4/(k²+2)]
令t=4k²/(k²+2)²+4/(k²+1)
t=8(k²+2-1)/(k²+2)²
=8/(k²+2)-8/(k²+2)²
令s=1/(k²+2)
t=8s-8s²=-8(s²-s)=-8(s-1/2)²+2
当s=4即1/(k²+2)=1/2,k=0时
t有最大值=2
此时S最大值=√2/2
此时直线与x轴平行,综上,S最大值=√2/2