函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe 1-x （a∈R，e为自然数的底数）

（1）函数的定义域为（0，+∞）
f ′ (x)=2-a-
2
x =
(2-a)x-2
x （x＞0）
当a=2时，f ^′ （x）＜0，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
当a＞2时， f ′ (x)=-
(a-2)x+2
x ＜0 ，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
当a＜2时， f ′ (x)=
(2-a)(x-
2
2-a )
x ，故当 x∈(0，
2
2-a ) 时，f ^′ （x）＜0，此时f（x）为减函数；当 x∈(
2
2-a ，+∞) 时，f ^′ （x）＞0f（x）为增函数．
综上，当a≥2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数；当a＜2时，f（x）在 (0，
2
2-a ) 上是减函数，在 (
2
2-a ，+∞) 上是增函数．
（2）g ^′ （x）=e ^1-x -xe ^1-x =（1-x）e ^1-x
当x∈（0，1）时，g ^′ （x）＞0，函数g（x）单调递增；
当x∈（1，e]时，g ^′ （x）＜0，函数g（x）单调递减．
又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e ^1-e ＞0
所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]
f ′ (x)=2-a-
2
x =
(2-a)x-2
x =
(2-a)(x-
2
2-a )
x ，x∈（0，e]
当x=
2
2-a 时，f ^′ （x）=0
故由题意得，f（x）在（0，e]上不单调．
∴ 0＜
2
2-a ＜e ，即 a＜2-
2
e ①
故当 x∈(0，
2
2-a ) 时，f ^′ （x）＜0，f（x）为减函数；当 x∈(
2
2-a ，e] 时，f ^′ （x）＞0，f（x）为增函数．
∴当x=
2
2-a 时，函数f（x）取到极小值，也是最小值 f(
2
2-a )=a-2ln
2
2-a ，f（e）=（2-a）（e-1）-2
∴对任意给定的x ₀ ∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x _i （i=1，2），使得f（x _i ）=g（x ₀ ）成立，当且仅当a满足下列条件：

f(
2
2-a )≤0 ②
f(e)≥1 ③ ，
即

a-2ln
2
2-a ≤0②
(2-a)(e-1)-2≥1③
令 h(a)=a-2ln
2
2-a ，a∈(-∞，2-
2
e )
则 h ′ (a)=1-
2
2-a =
a
a-2 ，令h ^′ （a）=0，解得a=0或a=2
故当a∈（-∞，0）时，h ^′ （a）＞0，函数h（a）单调递增；当 a∈(0，2-
2
e ) 时，h ^′ （a）＜0，函数h（a）单调递减．
∴对于任意的 a∈(-∞，2-
2
e ) ，有h（a）≤h（0）=0，即②对于任意的 a∈(-∞，2-
2
e ) 恒成立．
由③解得 a≤2-
3
e-1 ④
综合①④可知，当 a∈(-∞，2-
3
e-1 ] 时，对任意给定的x ₀ ∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x _i （i=1，2），使得f（x _i ）=g（x ₀ ）成立．
故a的范围是 (-∞，2-
3
e-1 ]