如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于E，交⊙O于点F，

（1）DE是⊙O的切线（1分）
证明：连接OC（如图）
∵

BC＝

CF，∴∠1=∠2（2分）
∵⊙O是△ABC的外接圆
∴点C在圆上
∴OC=OA
∴∠3=∠2
∴∠3=∠1
∴OC∥AE（3分）
∵AE⊥DE，∴∠AED=90°
∴∠OCD=90°
∴OC⊥DC，即OC⊥DE
∴DE是⊙O的切线（4分）

（2）在△ADE中，由（1）知OC∥AE
∴[OC/AE＝
DO
DA]
设OC=t
∵BD＝
5
3，AE＝4
∴[t/4＝

5
3+t

5
3+2t]
整理，得6t²-7t-20=0
解得t1＝
5
2，t2＝−
4
3
经检验t₁，t₂均为原方程的解，由于线段长为非负，故舍去负值．
得OC＝
5
2（5分）
∴AB=5
∵DC切⊙O于点C，DBA是⊙O的割线
∴DC2＝DB•DA＝
5
3(
5
3+5)
∴DC＝
10
3（6分）
∵∠BCD=∠2，∠D是公共角，
∴△DBC∽△DCA
∴[BC/AC＝
DB
DC＝

5
3

10
3 ＝
1
2]（7分）
由已知AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，∴tan∠2＝
BC
AC＝
1
2
∴tan∠BCD＝tan∠2＝
1
2（8分）

点评：
本题考点： 切线的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

考点点评： 本题是一道综合题目，考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例，解直角三角形，是中考压轴题．

1年前

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