设a1,…a11是等差数列,且a1＾2+a11＾2≤100,求a1+…a11的最大最小值

S=a1+a2+...+a11 = （a1 + a11)*11/2
a1 + a11 = 2S/11
(a1的平方)+(a11的平方)≤100
a1的平方 + 2*a1*a11 + a11的平方 - 2*a1*a11 ≤ 100
(a1 + a11)的平方 - 2*a1*a11 ≤ 100
4*(S的平方)/121 - 2*a1*a11 ≤ 100
S的平方 - 121*a1*a11/2 ≤ 3025
S的平方 ≤ 3025 + 121*a1*a11/2
- 根号下(3025 + 121*a1*a11/2) ≤ S ≤ 根号下(3025 + 121*a1*a11/2)
因此当 a1*a11 取最大时,S 取最大值 和最小值.
下面求 a1*a11 的最大值
因为 a1的平方 - 2*a1*a11 + a11的平方 ≥ 0
所以 a1*a11 ≤ (a1的平方 + a11的平方)/2 ≤ 100/2 = 50
因此 a1*a11 的最大值是 50.
当 a1*a11 取最大值 50 时
3025 + 121*a1*a11/2 = 3025 + 121 * 50 /2 = 2*55的平方
根号下(3025 + 121*a1*a11/2) = 55√2
因此 -55√2≤S≤55√2
a1 * a11 取最大值50时,
a1 = a2 = …… = a11 = ±5√2
为常数数列.公差为0.因为题目中只提到 “等差数列”.而公差为0的数列也属于等差数列,满足题目要求.这时 S = a1 + a2 + …… + a11 = ±55√2

设公差d
a11=a1+10d
a1＾2+a11＾2≤100 2a1^2+20da1+100d^2<=100 (a1+5d)^2+25d^2<=50
(a1+5d)^2<=50-25d^2<=50 (a1+5d)<=5根号2
S11=11(a1+5d)<=55根号2