(1)∵A(20,0),B(8,16),C(20,25),
∴AB=
(8?20)2+(16?0)2=20,
BC=
(20?8)2+(25?16)2=15;
(2)①由图2可知,点P在AB上运动的时间为4秒,
∴点P的运动速度为20÷4=5个单位/秒,
∴点P从点A运动到点C所需要的时间为(20+15)÷5=7秒;
②如图①,过点P作PE⊥x轴于点E,PF⊥y轴于点F.
∵AC⊥x轴,
∴PE∥AC,
∴∠1=∠BAC.
∵在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=20,BC=15,AC=25,
∴sin∠BAC=[BC/AC]=[15/25]=[3/5],cos∠BAC=[AB/AC]=[20/25]=[4/5].
∵在Rt△AEP中,∠AEP=90°,AP=5t,
∴AE=AP?sin∠1=5t?[3/5]=3t,PE=AP?cos∠1=5t?[4/5]=4t,
∴OE=OA-AE=20-3t,
∴P(20-3t,4t).
∵OQ=OD+DQ=10+5t,
∴△OPQ的面积S=[1/2]OQ?PF=[1/2](10+5t)(20-3t)=-[15/2]t
2+35t+100,
即S与t之间的函数关系式为S=-[15/2]t
2+35t+100,
∵S=-[15/2]t
2+35t+100=-[15/2](t-[7/3])
2+[845/6],
∴当t=[7/3]时,S取最大值时,此时点P的坐标为(13,[28/3]);
③在点P沿A→B→C的方向匀速运动过程中,使∠OPQ=90°的点P有1个.
(Ⅰ)当点P在AB边上运动时,如图①,过点P作PF⊥y轴于点F.
由上可知,P(20-3t,4t),Q(0,10+5t),F(0,4t),0≤t≤4,
∵∠OPQ=90°,∴PF
2=OF?FQ,即(20-3t)
2=4t(10+5t-4t),
解得t=16±4
11,其中0≤16-4
11≤4,
∴当点P在AB边上运动时,使∠OPQ=90°的点P有1个;
(Ⅱ)同理当点P在BC边上运动时,如图③,过点P作PE⊥x轴于点E,PF⊥y轴于点F.过点B作MN⊥于x轴于点M,交PF于点N,则MN⊥PF.
∵MN∥AC,
∴∠MBA=∠BAC,
∵∠ABC=90°,∠BNP=90°
∴∠MBA=∠BPN=90°-∠PBN,
∴∠BPN=∠BAC.
∵在Rt△BNP中,∠BNP=90°,BP=5t-20,
∴BN=BP?sin∠BPN=(5t-20)?[3/5]=3t-12,PN=BP?cos∠BPN=(5t-20)?[4/5]=4t-16,
∴PF=FN+PN=8+4t-16=4t-8,OF=MN=BM+BN=16+3t-12=3t+4,
∴P(4t-8,3t+4),Q(0,10+5t),F(0,3t+4),4≤t≤7,
∵∠OPQ=90°,∴PF
2=OF?FQ,即(4t-8)
2=(3t+4)(10+5t-3t-4),
解得t=
9±
65
2,均不符合4≤t≤7,
∴当点P在BC边上运动时,使∠OPQ=90°的点P有0个.
综上所述,符合题意的点P有1个,t=16-4
11.