如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED边长,易
如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED边长,易
知AE=2c,这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”：
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0必有实数根；
（3）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一个根,且四边形ACDE的周长是倍6根2,求△ABC面积．
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解 析 （1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值,根据完全平方公式求得ab的值,从而可求得面积．
解 答 当a=3,b=4,c=5时
勾系一元二次方程为3x2+5
2
x+4=0；
（2）证明：根据题意,得
△=（
2
c）2-4ab=2c2-4ab
∵a2+b2=c2
∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程ax2+
2
cx+b=0必有实数根；
当x=-1时,有a-
2
c+b=0,即a+b=
2
c
∵2a+2b+
2
c=6
2
,即2（a+b）+
2
c=6
2
∴3
2
c=6
2
∴c=2
∴a2+b2=c2=4,a+b=2
2
∵（a+b）2=a2+b2+2ab
∴ab=2
∴S△ABC=
1
2
ab=1．
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值,根据完全平方公式求得ab的值,从而可求得面积．
解 答 当a=3,b=4,c=5时
勾系一元二次方程为3x2+5
2
x+4=0；
（2）证明：根据题意,得
△=（
2
c）2-4ab=2c2-4ab
∵a2+b2=c2
∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程ax2+
2
cx+b=0必有实数根；
当x=-1时,有a-
2
c+b=0,即a+b=
2
c
∵2a+2b+
2
c=6
2
,即2（a+b）+
2
c=6
2
∴3
2
c=6
2
∴c=2
∴a2+b2=c2=4,a+b=2
2
∵（a+b）2=a2+b2+2ab
∴ab=2
∴S△ABC=
1
2
ab=1．
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