已知函数f(x)＝－x 3 －ax 2 ＋b 2 x＋1(a、b∈R)．
| 已知函数f(x)＝－x 3 －ax 2 ＋b 2 x＋1(a、b∈R)． (1)若a＝1，b＝1，求f(x)的极值和单调区间； (2)已知x 1 ，x 2 为f(x)的极值点，且|f(x 1 )－f(x 2 )|＝|x 1 －x 2 |，若当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒小于m，求m的取值范围 |
赞 学习卡 幼苗
共回答了23个问题采纳率：78.3% 举报
(1)f(x)＝－x 3 －x 2 ＋x＋1，f′(x)＝－3x 2 －2x＋1
＝－(3x－1)(x＋1).
x
(－∞，－1)
－1
(－1，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
减
极小
值0
增
极大
值
减
f(x)的极大值为，极小值为0.
f(x)的单调增区间为，单调减区间为(－∞，－1)，.
(2)∵f(x)＝－x 3 －ax 2 ＋b 2 x＋1，
∴f′(x)＝－3x 2 －2ax＋b 2 ，又x 1 ，x 2 为f(x)的极值点，
∴x 1 ，x 2 为方程－3x 2 －2ax＋b 2 ＝0的两根，
x 1 ＋x 2 ＝－，x 1 x 2 ＝－，
∵|f(x 1 )－f(x 2 )|＝|x 1 －x 2 |，
∴|－x－ax＋b 2 x 1 ＋1＋x＋ax－b 2 x 2 －1|＝|x 1 －x 2 |，
整理得|x＋x 1 x 2 ＋x＋a(x 1 ＋x 2 )－b 2 |＝，
即＝，
∴a 2 ＋3b 2 ＝1，∴a 2 ≤1.
∵k＝f′(x)＝－3x 2 －2ax＋b 2 ＝－3x 2 －2ax＋，
f′(x) max ＝f′＝，
∴m＞.
略
＝－(3x－1)(x＋1).
x
(－∞，－1)
－1
(－1，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
减
极小
值0
增
极大
值
减
f(x)的极大值为，极小值为0.
f(x)的单调增区间为，单调减区间为(－∞，－1)，.
(2)∵f(x)＝－x 3 －ax 2 ＋b 2 x＋1，
∴f′(x)＝－3x 2 －2ax＋b 2 ，又x 1 ，x 2 为f(x)的极值点，
∴x 1 ，x 2 为方程－3x 2 －2ax＋b 2 ＝0的两根，
x 1 ＋x 2 ＝－，x 1 x 2 ＝－，
∵|f(x 1 )－f(x 2 )|＝|x 1 －x 2 |，
∴|－x－ax＋b 2 x 1 ＋1＋x＋ax－b 2 x 2 －1|＝|x 1 －x 2 |，
整理得|x＋x 1 x 2 ＋x＋a(x 1 ＋x 2 )－b 2 |＝，
即＝，
∴a 2 ＋3b 2 ＝1，∴a 2 ≤1.
∵k＝f′(x)＝－3x 2 －2ax＋b 2 ＝－3x 2 －2ax＋，
f′(x) max ＝f′＝，
∴m＞.
略
1年前
8
可能相似的问题
-
1年前1个回答
-
1年前1个回答
-
已知函数已知函数f(x)=|x-2|-|x-5| ⑴证明-3
1年前2个回答
-
1年前1个回答
你能帮帮他们吗