函数f(x)＝ax−1x(x＞0，a＞0且a≠1），存在实数m＜n使不等式f（x）＞0的解集为（m，n），则a的取值范围

已知函数f(x)＝ax−
1
x(x＞0，a＞0且a≠1），存在实数m＜n使不等式f（x）＞0
①若0＜a＜1，要使f(x)＝ax−
1
x＞0，则a^x＞
1
x，
令h（x）=a^x，g（x）=[1/x]，有交点，存在x=t，使at＝
1
t，当x＞t时，ax＞
1
x，此时m＞t，
可得a^m＞
1
m，解得a＞e
−lnm
m，
∴e
−lnm
m＜a＜1；
②若a＞1，则a＞e
−lnm
m也成立，
则同样有ax＞
1
x，
∴a的取值范围为：（e
−lnm
m，1）∪（1，+∞），
故答案为：（e
−lnm
m，1）∪（1，+∞）；

点评：
本题考点： 函数单调性的性质．

考点点评： 此题主要考查函数的单调性及其应用，还考查了分类讨论的思想，这是高考每年必考的考点，学生一定要掌握．