已知函数f（x）=log a （1+x）-log a （1-x）（a＞0且a≠1）

（1）根据对数的运算法则，得
f（x）=log _a （1+x）-log _a （1-x）= log a
1+x
1-x （-1＜x＜1）
令t=
1+x
1-x ，得 t / =
1-x+1+x
(1-x) 2 =
2
(1-x) 2 ＞0
故t在区间（-1，1）上是关于x的单调增函数，
不等式|f（x）|＜2的解集为 (-
1
2 ，
1
2 ) ，分两种情况加以讨论：
①当a＞1时， f(-
1
2 ) =-2且f(
1
2 ) =2
∴log _a
1
2 -log _a
3
2 =-2⇒ log a
1
3 =-2 ⇒ a=
3
②当0＜a＜1时， f(-
1
2 ) =2且f(
1
2 ) =-2 ，类似①的方法可得 a=

3
3
综上所述，得实数a的值为
3 或

3
3 ；
（2）∵ f(x)=log a
1+x
1-x ⇒ x=
-1 +a y
1+ a y
∴f ^-1 （x）=
-1+ a x
1+ a x =1-
2
1+ a x
∵1+a ^x ＞1
∴ 1-
2
1+ a x ∈(-1，1)
欲使关于x的不等式f ^-1 （x）＜m（m∈R）有解，m必须大于f ^-1 （x）的最小值，所以m≥-1
故m的取值范围是[-1，+∞）．
（3）由（2）得 f -1 (1)=
-1+a
1+a =
1
3 ⇒a=2，
对于关于x的不等式f ^-1 （x）＜m，由（2）知的f ^-1 （x）的值域为（-1，1）
故分3种情形加以讨论：
①当m≥1时，有f ^-1 （x）＜1≤m，所以f ^-1 （x）＜m恒成立，得不等式的解集是R；
②当-1＜m＜1，f ^-1 （x）＜m⇒1-
2
1+ 2 x ＜m⇒ 2 x ＜
1+m
1-m ⇒ x＜ log 2
1+m
1-m
∴不等式的解集是x∈（-∞， log 2
1+m
1-m ）
由（2）知不等式f ^-1 （x）＜m的解集是空集．
综上所述：当m≤-1时原不等式的解集是空集，当-1＜m＜1时原不等式的解集是x∈（-∞， log 2
1+m
1-m ）；当m≥1时，原不等式的解集是R．