求平面x/3+y/4+z/5=1和柱面x^2+y^2=1的交线上与xOy平面距离最段的点

这是因为求距离都是正值,距离公式外都要加绝对值符号,作目标函数时,平方后就不会出现负数问题,你若对空间图形有直观的了解,就不必用平方项,

因为平面x/3+y/4+z/5=1是经过 A（3,0,0）,B（0,4,0）,C（0,0,5）三点,柱面在XOY平面交线为圆心O,半径为1,

其交线只能在第一卦限和第三卦限,第一卦限为最小值,第三卦限为最大值,

平面x/3+y/4+z/5=1至XOY平面距离就是z坐标值, z=(5-5x/3-5y/4), 限制条件：x^2+y^2=1,

设φ(x,y)=x^2+y^2-1=0,

作函数Φ(x,y)=5-5x/3-5y/4+λ（x^2+y^2-1),

∂Φ/∂x=-5/3+2λx=0,

∂Φ/∂y=-5/4+2λy=0, λ=5/(6x),

λ=5/(8y), 5/(6x)=6/(8y), y=3x/4,

代入限制条件,x^2+y^2=1, x^2+9x^2/16=1, x^2=16/25,

x=±4/5, y=±3/5,

当x=4/5,y=3/5时,是交线上与xOy平面距离最短的点, 距离为：z(min)=35/12,

当x=-4/5,y=-3/5时,是交线上与xOy平面距离最长的点. z(max)=85/12,

∴平面x/3+y/4+z/5=1和柱面x^2+y^2=1的交线上与xOy平面距离最短的点为（4/5,3/5.35/12), 在不知道距离的正负值时一定要用平方来作目标函数.

现不知距离的正负值,则设距离的平方来作目标函数,

设D=(60-20x-15y)^2/144,

作函数Φ(x,y)=(60-20x-15y/4)^2/144+λ（x^2+y^2-1),

令∂Φ/∂x=-5(60-20x-15y)/18+2λx=0,

∂Φ/∂y=-5(60-20x-15y)/24+2λy=0,

λ=5(60-20x-15y)/(36x) λ=5(60-20x-15y)/(48y),

5(60-20x-15y)/(36x)=5(60-20x-15y)/(48y),

∵60-20x-15y≠0,

∴y=3x/4, 代入限制条件函数x^2+y^2=1, x=±4/5, y=±3/5,

取正值为最小点, z(min)=[1-(4/5)/3-(3/5)/4]*5=35/12

∴平面x/3+y/4+z/5=1和柱面x^2+y^2=1的交线上与xOy平面距离最短的点为（4/5,3/5,35/12).