已知函数f(x)=log 2 +log 2 (x﹣1)+log 2 (p﹣x).

已知函数f(x)=log 2 +log 2 (x﹣1)+log 2 (p﹣x).
(1)当p=7时,求函数f(x)的定义域与值域;
(2)求函数f(x)的定义域与值域.
evoko 1年前 已收到1个回答 举报

syrain 幼苗

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(1)由题意,可得 ,∴1<x<7
又∵函数f(x)=log 2 +log 2 (x﹣1)+log 2 (7﹣x)
=log 2 (x+1)(7﹣x)=log 2 [﹣(x﹣3)2+16].
令g(x)=﹣(x﹣3) 2 +16,
由于函数的定义域为{x|1<x<7},则g(7)<g(x)≤g(3),即0<g(x)≤16,
所以函数f (x)的值域为(﹣∞,4]
(2)由题意,可得 ,∴x>1且x<p
∵函数的定义域不能为空集,故p>1,函数的定义域为(1,p).
函数f(x)=log 2 +log 2 (x﹣1)+log 2 (p﹣x)
=log 2 (x+1)(p﹣x)=log 2 [﹣x2+(p﹣1)x+p].
令t=﹣x 2 +(p﹣1)x+p= =g(x)
①当 ,即1<p<3时,t在(1,p)上单调减,
g(p)<t<g(1),即0<t<2p﹣2,
∴f(x)<1+log 2 (p﹣1),函数f(x)的值域为(﹣∞,log2(p﹣1));
②当 ,即p≥3时,g(p)<t<g( ),即0<t≤
∴f(x)≤2log 2 (p+1)﹣2,函数f(x)的值域为(﹣∞,2log 2 (p+1)﹣2).
综上:当1<p<3时,函数f(x)的值域为(﹣∞,log 2 (p﹣1));
当p≥3时,函数f(x)的值域为(﹣∞,2log 2 (p+1)﹣2).

1年前

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