设函数f(x)＝lnx+1x：（1）求f（x）的最小值；（2）设数列{xn}满足lnxn+1xn+1＜1，证明极限lim

（1）f′(x)＝
1
x−
1
x2＝
x−1
x2，
令f'（x）=0，得唯一驻点x=1，
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，函数单调递减；当x∈（1，∞）时，f'（x）＞0，函数单调递增．
所以函数x=1处取得最小值f（1）=1．
（2）证明：由于lnxn+
1
xn+1＜1，但lnxn+
1
xn≥1，所以[1
xn+1＜
1
xn，故数列{x_n}单调递增．
又由于lnxn≤lnxn+
1
xn+1＜1，得到0＜x_n＜e，数列{x_n}有界．
由单调有界收敛定理可知极限
lim
n→∞xn存在．
令
lim
n→∞xn＝a，则
lim
n→∞（lnxn+
1
xn+1）=lna+
1/a≤1，由（1）的结论可知
lim
n→∞xn＝a＝1．

点评：
本题考点： 数列极限的求解；最值定理及其推论的运用．

考点点评： 本题考察了最值定理及其推论的相关应用，同时也考察用单调有界原理证明数列极限存在性，以及数列极限的求法．需注意，在求开区间最值时，往往先求函数的驻点，然后判断驻点是否为最值点；对数列极限存在性的证明，要从数列的有界性和单调性两方面入手；在已知极限存在的情况下，可以直接对等式或者不等式两边取极限，得到数列极限的一个方程，在通过解方程求出极限值．

1年前

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