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(1)当A1、D两点重合时,如图1①和图1②,
∵CD∥AB,CD=AB,
∴四边形ACDB是平行四边形.
∵△ABC沿BC折叠得△A1BC,A1、D两点重合,
∴AC=A1C=DC.
∴平行四边形ACDB是菱形.
∴AC=AB=4(cm).
故答案为:4.
(2)当A1、D两点不重合时,
①A1D∥BC.
证明:过点A1作A1E⊥BC,垂足为E,过点D作DF⊥BC,垂足为F,如图2,
∵CD∥AB,CD=AB,
∴四边形ACDB是平行四边形.
∴S△ABC=S△DBC.
∵△ABC沿BC折叠得△A1BC,
∴S△ABC=S△A1BC.
∴S△DBC=S△A1BC.
∴[1/2]BC•DF=[1/2]BC•A1E.
∴DF=A1E.
∵A1E⊥BC,DF⊥BC,
∴∠A1EB=∠DFB=90°.
∴A1E∥DF.
∴四边形A1DFE是平行四边形.
∴A1D∥EF.
∴A1D∥BC.
②Ⅰ.如图3①,
过点C作CH⊥AB,垂足为H,此时AH<BH.
∵四边形A1DBC是矩形,
∴∠A1CB=90°.
∵△ABC沿BC折叠得△A1BC,
∴∠ACB=∠A1CB.
∴∠ACB=90°.
∵CH⊥AB,
∴∠AHC=∠CHB=90°.
∴∠ACH=90°-∠HCB=∠CBH.
∴△AHC∽△CHB.
∴[AH/CH]=[CH/BH].
∴CH2=AH•BH.
∵AB=4,CH=
3,
∴3=AH•(4-AH).
解得:AH=1或AH=3.
∵AH<BH,
∴AH=1.
∴AC2=CH2+AH2=3+1=4.
∴AC=2.
Ⅱ.如图3②,
过点C作CH⊥AB,垂足为H,此时AH>BH.
同理可得:AH=3.
∴AC2=CH2+AH2=3+9=12.
∴AC=2
3.
Ⅲ.如图3③,
∵四边形A1DCB是矩形,
∴∠A1BC=90°.
∵△ABC沿BC折叠得△A1BC,
∴∠ABC=∠A1BC.
∴∠ABC=90°.
∴AC2=BC2+AB2=3+16=19.
∴AC=
19.
综上所述;当以A1、C、B、D为顶点的四边形是矩形时,AC的长为2或2
3或
点评:
本题考点: 几何变换综合题;勾股定理;平行四边形的判定与性质;菱形的判定与性质;矩形的性质;轴对称的性质;相似三角形的判定与性质.
考点点评: 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、轴对称的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识,还考查了分类讨论的思想,有一定的综合性,而解决最后一个问题的过程中容易出现漏解的现象,是一道易错题.
1年前
1年前1个回答
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