一道有关多元函数极值问题的证明题
一道有关多元函数极值问题的证明题
若z=f(x,y)在R2上有一阶偏导数,且lim（x2+y2趋向无穷大）f(x,y)=+无穷大.若z=f(x,y)在R2上有唯一的稳定点,证明：该稳定点一定是极小值点,且是最小值点.
若z=f(x,y)在R2上有一阶偏导数,且lim（x2+y2趋向无穷大）f(x,y)=+无穷大.若z=f(x,y)在R2上有唯一的稳定点,证明：该稳定点一定是极小值点,且是最小值点.
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记B(R)为以原点为圆心,R为半径的闭圆盘
一定存在一个N,R≥N时,对于任意的x∈B(R),f(x)>f(0,0)
在B(N)中考虑f
f显然连续,B是个紧集,所以f在B上一定存在最小值点,由N的取法可知最小值一定不在边界上取到（边界上都比f(0,0)大）,所以在B(N)内取到x0,那么x0就一定是一个驻点（或者稳定点）
容易知道x0就是f在R2上的最小值点,最小值点当然也是极小值点,得证
补充一句话,这题中的f→∞是必要的.一维情形有定理：唯一极值点一定是最值点.高维情形就不对了.比如这题,如果没有这个条件,那么x^3-4x^2+2xy-y^2就是一个反例
一定存在一个N,R≥N时,对于任意的x∈B(R),f(x)>f(0,0)
在B(N)中考虑f
f显然连续,B是个紧集,所以f在B上一定存在最小值点,由N的取法可知最小值一定不在边界上取到（边界上都比f(0,0)大）,所以在B(N)内取到x0,那么x0就一定是一个驻点（或者稳定点）
容易知道x0就是f在R2上的最小值点,最小值点当然也是极小值点,得证
补充一句话,这题中的f→∞是必要的.一维情形有定理：唯一极值点一定是最值点.高维情形就不对了.比如这题,如果没有这个条件,那么x^3-4x^2+2xy-y^2就是一个反例
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