在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,PD⊥CD,底面ABCD是直角三角形,AB//CD,∠ADC=90°,
在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,PD⊥CD,底面ABCD是直角三角形,AB//CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2
（1）求证：BC⊥平面PBD
（2）设Q为侧棱PC上一点,向量PQ=λ向量PC,试确定λ的值,使得二面角Q-BD-P为45°
（1）求证：BC⊥平面PBD
（2）设Q为侧棱PC上一点,向量PQ=λ向量PC,试确定λ的值,使得二面角Q-BD-P为45°
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(1)
已知 ABCD是直角梯形,AB=AD=1,CD=2,AB//CD,AD⊥AB
易证 角C=45度,BCD是等腰直角三角形,角CBD=90度,即 BC⊥BD
因为 面PAD⊥底面ABCD,PD⊥CD
所以 PD⊥底面ABCD,
所以 PD⊥BC
所以 BC⊥面PBD
(2)
因为 PD⊥面ABCD,
所以 面PBD⊥面ABCD ,面PCD⊥面ABCD
过Q做QM⊥DC,M是DC上交点
过M做MN⊥BD,N是BD上交点
则 二面角Q-BD-P=90度 － 角QNM
若 二面角Q-BD-P=45度,
那么 角QNM=45度,QM=MN
已知 △PDC和△QMC 中 PD=1,CD=2,QC=(1-λ)PC
得 QM=(1-λ)PD=1-λ,DM=λ*CD
因此 MN=λ*BC=λ√2
因此 1-λ=λ√2
所以 λ=√2-1
即 λ=√2-1 时,二面角Q-BD-P为45°
已知 ABCD是直角梯形,AB=AD=1,CD=2,AB//CD,AD⊥AB
易证 角C=45度,BCD是等腰直角三角形,角CBD=90度,即 BC⊥BD
因为 面PAD⊥底面ABCD,PD⊥CD
所以 PD⊥底面ABCD,
所以 PD⊥BC
所以 BC⊥面PBD
(2)
因为 PD⊥面ABCD,
所以 面PBD⊥面ABCD ,面PCD⊥面ABCD
过Q做QM⊥DC,M是DC上交点
过M做MN⊥BD,N是BD上交点
则 二面角Q-BD-P=90度 － 角QNM
若 二面角Q-BD-P=45度,
那么 角QNM=45度,QM=MN
已知 △PDC和△QMC 中 PD=1,CD=2,QC=(1-λ)PC
得 QM=(1-λ)PD=1-λ,DM=λ*CD
因此 MN=λ*BC=λ√2
因此 1-λ=λ√2
所以 λ=√2-1
即 λ=√2-1 时,二面角Q-BD-P为45°
1年前 追问
4
第（2）有没有向量法啊，空间直角坐标系
用向量啊，可以的。 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立直角坐标系。 则 向量DB=(1,1,0), 向量DP=(0,0,1), 向量PC=(0,2,-1), 向量PQ=(0,2λ,-λ) 向量BC=(-1,1,0) 于是 向量DQ=向量DP+向量PQ=(0, 2λ,1-λ) 设面QBD的法向量n(x,y,z) 则有 { x+y=0 { 2λy+(1-λ)z=0 令 x=1, 得 y=-1, z=2λ/(1-λ) 即 向量n=(1, -1, 2λ/(1-λ)) 设 二面角Q-BD-P 为α=45度 则 cosα=√2/2=|n•BC| / (|n|*|BC|) =|-1-1|/√[(1+2λ^2/(1-λ)^2)*4] 于是 1+2λ^2/(1-λ)^2=2 ， √2λ=1-λ 求得 λ=√2-1
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