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hwhan525 幼苗
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2x2 |
(I)函数f(x)的单调减区间(-∞,-1),函数f(x)的单调增区间[-1,0),(0,+∞);
(II)由导数的几何意义知,点A处的切线的斜率为f′(x1),点B处的切线的斜率为f′(x2),
函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,有f′(x1)f′(x2)=-1,
当x<0时,(2x1+2)(2x2+2)=-1,∵x1<x2<0,∴2x1+2<0,2x2+2>0,
∴x2-x1=[1/2][-(2x1+2)+(2x2+2)]≥
[−(2x1+2)](2x2+2)=1,
∴若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,有x2-x1≥1;
(III)当x1<x2<0,或0<x1<x2时,f′(x1)≠f′(x2),故x1<0<x2,
当x1<0时,函数f(x)在点A(x1,f(x1))处的切线方程为y-(x 12+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1);
当x2>0时,函数f(x)在点B(x2,f(x2))处的切线方程为y-lnx2=[1
x2(x-x2);
两直线重合的充要条件是
1
x2=2x1+2①
lnx2−1=−
x21+a②,
由①及x1<0<x2得0<
1
x2<2,由①②得a=lnx2+(
1
2x2−1)2-1=-ln
1
x2+
1/4](
1
x2−2)2-1,
令t=
1
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本题以函数为载体,考查分段函数的解析式,考查函数的单调性,考查直线的位置关系的处理,注意利用导数求函数的最值.
1年前
1年前1个回答
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