高等代数多项式定理证明是不是不太严谨?

高等代数多项式定理证明是不是不太严谨?
定理：如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1),那么它是导数f'(x)的k-1重因式.
证明：由假设,f(x)=p∧k(x)g(x),其中p(x)不能整除g(x).有f'(x)
=p∧k-1(x)[kg(x)p'(x)+p(x)g'(x)],所以p∧k-1|f'(x),因为p(x)|p(x)g'(x),p(x)不整除g(x)p'(x),……所以得证.
我的疑问：光凭p(x)不整除g(x),就能说p(x)也不整除g(x)p'(x)吗,依据什么定理