在直角坐标系xOy中，已知动点P与平面上两定点M（-1，0），N（1，0）连线的斜率的积为定值-4，设点P的轨迹为C．

解题思路：（1）根据定点M（-1，0）、N（1，0），直线MP与直线PN的斜率之积为-4，建立方程，化简可得曲线C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及

OA

⊥

OB

，推出x₁x₂+y₁y₂=0，然后求出直线的斜率的值即可．

（1）设P点坐标为（x，y）
∵定点M（-1，0）、N（1，0），直线PM与直线PN的斜率之积为-4，
∴[y/x+1•
y
x−1＝−4，
∴曲线C的方程为x2+
y2
4＝1(x≠±1)．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

x2+
y2
4＝1
y＝kx+1.]
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故x1+x2＝−
2k
k2+4，x1x2＝−
3
k2+4．
若

OA⊥

OB，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y1y2＝k2x1x2+k(x1+x2)+1，
于是x1x2+y1y2＝−
3
k2+4−
3k2
k2+4−

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查轨迹方程的求解，考查存在性问题的探究，考查直线与椭圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力．