若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．

（1）根据定义可得：|x²-1|＞1
∴x²-1＞1或x²-1＜-1
解得x∈(−∞，−
2)∪(
2．+∞)
（2）证明：欲证明a³+b³比a²b+ab²远离2ab
ab
即证|a³+b³-2ab
ab|＞|a²b+ab²-2ab
ab|，又任意两个不相等的正数a、b
即证|
b2
a+
a2
b−2
ab​|＞|a+b−2
ab​|
由于a+b≥2
ab​，
b2
a+
a2
b−(a+b)＝
(a+b)(a2+b2−2ab)
ab＞0
∴
b2
a+
a2
b＞a+b＞2
ab
即证|
b2
a+
a2
b−2
ab​|＞|a+b−2
ab​|成立
∴|a³+b³-2ab
ab|＞|a²b+ab²-2ab
ab|
（3）由题意知f(x)＝

sinx，x∈(kπ+
π
4，kπ+
3π
4)
cosx，x∈(kπ−
π
4，kπ+
π
4)
性质：①函数是偶函数；
②周期T=[π/2]
③在区间(
kπ
2+
π
4，
kπ
2+
π
2]k∈z是增函数，在[
kπ
2−
π
4，
kπ
2+
π
4)k∈z是减函数
④最大值为1，最小值为

2
2
⑤定义域D＝{x|x≠
kπ
2+
π
4，k∈Z，x∈R}

点评：
本题考点： 综合法与分析法(选修）；分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法．

考点点评： 本题通过新定义来考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明，构造新函数并研究其性质，设置新颖，考查丰富，是一道好题．