若双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上

解题思路：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．根据双曲线方程，设其上一点P的坐标为P（acosθ，btanθ），其中为θ锐角，求出直线OP方程：y=bsinθax．设右焦点F（c，0）关于直线OP的对称点为Q（x1，y1），根据点关于直线对称的知识，列方程组并化简消去y1，可得b2sin2θa2＝c−x1c+x1．因为不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x1=0满足该方程，讨论这个方程解的情况，得b2a2≤1，可得c2≤2a2，离心率满足1＜e≤2．得到正确答案．

由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．
设双曲线位于第一象限内一点P的坐标为（[a/cosθ]，btanθ），其中为θ锐角，
∴直线OP的斜率为k=[btanθ

a/cosθ]=[bsinθ/a]，可得直线OP方程为y=[bsinθ/a]x，
设右焦点F（c，0）关于直线OP的对称点为Q（x₁，y₁），
∴


y1
x1−c•
bsin θ
a＝−1

y1
2＝
bsin θ
a•
c+x1
2，消去y₁得：
b2sin2θ
a2＝
c−x1
c+x1…（*），
接下来讨论方程（*）的根的问题，
当x₁=0时，
b2sin2θ
a2＝1，将此方程进行变量分离，得：
b2
a2＝
1
sin2θ
∵0＜sin²θ＜1
∴
b2
a2＝
1
sin2θ＞1
而根据题意，不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x₁=0满足（*）式成立．
综上所述，可得
b2
a2≤1，即
c2−a2
a2＜1，可得c²≤2a²，离心率e≤
2
∵双曲线中，c＞a
∴离心率e＞1，可得1＜e≤
2．
故选C

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题给出双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单性质和点关于直线对称等知识点，属于中档题．