已知函数f(x)＝loga1−mxx−1(a＞0，a≠1)的图象关于原点对称．

解题思路：（1）由题意得，f（x）是奇函数，得f（-x）+f（x）=0，代入解析式再用比较系数法，可得m=-1；
（2）令对数的真数为t，利用单调性的定义可以证出t（x）在区间（1，+∞）上是减函数，再用复合函数单调性可得原函数在区间（1，+∞）上的单调性．

（1）∵函数f(x)＝loga
1−mx
x−1(a＞0，a≠1)的图象关于原点对称
∴函数为奇函数，满足f（-x）+f（x）=0，即loga
1+mx
−x−1+loga
1−mx
x−1=0对定义域内任意x都成立，
即loga(
1+mx
−x−1•
1−mx
x−1)=log_a1，
1−m2x2
1−x2=1对定义域内任意x都成立，
∴m²=1，得m=±1，经检验m=1不符合题意舍去，所以m的值为-1；
（2）当0＜a＜1时，f（x）是（1，+∞）的增函数；当a＞1时，f（x）是（1，+∞）的减函数，证明如下
由（1）得f(x)＝loga
1+x
x−1，（x＞1）
设t=
1+x
x −1，再令1＜x₁＜x₂，则t₁=
1+x1
x1−1，t₂=
1+x2
x2−1，
可得t₁-t₂=
1+x1
x1−1-
1+x2
x2−1=
2(x2−x1)
(x1−1)(x2−1)＞0，有t₁＞t₂，
∴函数t=
1+x
x−1是（1，+∞）上的减函数．
根据复合函数单调性法则，得：当0＜a＜1时，f（x）是（1，+∞）的增函数；
当a＞1时，f（x）是（1，+∞）的减函数．

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质；函数的图象．

考点点评： 本题给出真数为分式对数型函数，并研究它的单调性与奇偶性，着重考查了基本初等函数的单调性和奇偶性等常见性质，属于基础题．