设a>0,f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数,求a值.

设a>0,f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数,求a值.
∵f(x)=e^x/a+a/e^x
∴f(-x)=e^(-x)/a+a/e^(-x)=1/(a*e^x)+a*e^x
又f(x)=f(-x)
∴e^x/a+a/e^x=1/(a*e^x)+a*e^x
(a-1/a)[e^x-e^(-x)]=0
∵[e^x-e^(-x)]=e^(-x)[e^(2x)-1]≠0 (x≠0时)
∴若要对任何x均成立,必有a-1/a=0
∴a=±1
又a>0
∴a=1
答案是这样,但是我有一步看不懂,为什么最后化简会变成这样?
这一步：f(-x)=e^(-x)/a+a/e^(-x)=1/(a*e^x)+a*e^x
还有这一步：∴e^x/a+a/e^x=1/(a*e^x)+a*e^x
(a-1/a)[e^x-e^(-x)]=0