设曲线y=[1/3]ax3+[1/2]bx2+cx在点A（x，y）处的切线斜率为k（x），且k（-1）=0，对一切实数x

解题思路：（1）根据题意，在恒成立的不等式x≤k（x）≤[1/2]（x²+1）中，令x=1，可得1≤k（1）≤1，即可得答案；
（2）先对曲线方程求导可得k（x）=ax²+bx+c，已知k（-1）=0和由（1）求得的k（1）=1，可得关于a、b、c的关系式，又由x≤k（x）≤[1/2]（x²+1）恒成立，对x≤k（x）≤[1/2]（x²+1）变形可得，ax²+[1/2]x+c≥0且（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立；根据二次函数的性质，可得关于ac的关系式，联系可得a、b、c的值，即可得k（x）的表达式；
（3）由（2）得到的k（x）的表达式，结合不等式的性质，运用放缩法，可证明不等式．

（1）由x≤k(x)≤12(x2+1)得1≤k(1)≤1，所以k（1）=1------（3分）（2）对曲线方程求导可得k（x）=ax2+bx+c，k（-1）=0，则a-b+c=0------①由（1）得，k（1）=1，则a+b+c=1------②由①②得a+c=12，b=12；则k（x）=...

点评：
本题考点： 数学归纳法；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题综合考查函数的恒成立问题、曲线的切线方程以及放缩法证明不等式，难度较大；解（Ⅱ）题时要注意二次函数大于等于0恒成立的条件．