设{an}是正项等比数列，令Sn=lga1+lga2+…+lgan，n∈N*，若存在互异的正整数m，n，使得Sm=Sn，

解题思路：根据{a_n}是正项等比数列，推断出lga_n+1-lga_n结果为常数，判断出数列{lga_n}为等差数列，进而用等差数列求和公式分别表示出S_m和S_n，根据S_m-S_n=0求得lga₁+

m+n−1

2

d）=0代入S_m+n求得答案．

∵{a_n}是正项等比数列，设公比为q，
∴lga_n+1-lga_n=lgq
∴数列{lga_n}为等差数列，
设公差为d
则S_m=mlga₁+
m(m−1)d
2，S_n=nlga₁+
n(n−1)d
2
∵S_m=S_n，
∴S_m-S_n=mlga₁+
m(m−1)d
2-nlga₁-
n(n−1)d
2=（m-n）（lga₁+[m+n−1/2d）=0
∵m≠n
∴lga₁+
m+n−1
2d）=0
∴S_m+n=（m+n）lga₁+
(m+n)(m+n−1)d
2]=（m+n）（lga₁+
m+n−1
2d）=0
故答案为0．

点评：
本题考点： 等比数列的性质；等比数列的前n项和．

考点点评： 本题主要考查了等比数列和等差数列的性质．解题的关键是判断出数列{lgan}为等差数列．