如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止

解题思路：（1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做匀加速直线，当到达B点撤去恒力，让其在沿光滑半圆轨道运动到C处后，又正好落回A点．因小球离开C点后做平抛运动，已知高度与水平位移的情况下，可求出小球在C处的速度大小，选取从A到C过程，由动能定理可求出推力对小球所做的功．
（2）力F做功越小，小球到达B点的速度越小，到达最高点C的速度越小，当小球恰好到达C点时，由重力充当向心力，此时C点的速度最小，力F做功最小．先由牛顿第二定律求出小球通过C点的最小速度，根据（1）问的结果求出x，即可得到最小功；

（1）质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为v_C，质点从C点运动到A点所用的时间为t，在水平方向x=v_Ct
竖直方向上2R=[1/2]gt²，
解①②式有v_C=
x
2

g
R
对质点从A到C由动能定理有W_F-mg•2R=[1/2]mv_C²
解W_F=
mg(16R2+x2)
8R
（2）要使力F做功最少，确定x的取值，由W_F=2mgR+[1/2]mv_C²知，只要质点在C点速度最小，则功W_F就最小，就是物理极值．
若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，由牛顿第二定律有
mg=
mv2
R，则v=
Rg
当x=vt=
Rg×2

R
g=2R时，
W_F最小，最小的功W_F=[5/2]mgR．
答：（1）推力对小球所做的功为
mg(16R2+x2)
8R．
（2）x取2R时，使质点完成BC段运动后落回水平面，水平恒力所做的功最少，最小功为[5/2]mgR．

点评：
本题考点： 动能定理的应用．

考点点评： 本题要挖掘隐含的临界条件：小球通过C点的最小速度为gR，由动能定理求解F做功，再运用数学不等式知识求解极值．

先求质点在C处的水平速度：
gt^2/2=2R
t=2√(R/g)
v=x/t=2x√(R/g)
质点在B处的动能即为推力对质点所做的功：
W=mV^2/2=2mgR+mv^2/2=√[2R(g^2+1)/g]
当质点在C处对轨道的压力为0时，即质点正好能够从C处飞出(质点的重力充当向心力），这种情况下推力对质点做功最小
mv^2/R=mg