在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，−3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线 y=kx

解题思路：（Ⅰ）根据点P到两点(0，−

3

)、(0，

3

)的距离之和等于4，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，−

3

)、(0，

3

)为焦点，长半轴为2的椭圆，由此可求曲线C的方程；
（Ⅱ）设

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），利用

OA

⊥

OB

，可得x₁x₂+y₁y₂=0，把y=kx+1代入椭圆方程，消去y可得（4+k²）x²+2kx-3=0，根据韦达定理，即可求实数k的值；
（Ⅲ）表示出△OAB面积，换元，利用函数的单调性，即可确定△OAB面积的取值范围．

（Ⅰ）设P（x，y），∵点P到两点(0，−
3)、(0，
3)的距离之和等于4
∴由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，−
3)、(0，
3)为焦点，长半轴为2的椭圆，
∴短半轴b=1
∴曲线C的方程为x2+
y2
4＝1；
（Ⅱ）设

OA=（x₁，y₁），

OB=（x₂，y₂），
∵

OA⊥

OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
（x₁x₂）（

点评：
本题考点： 轨迹方程；平面向量数量积的运算．

考点点评： 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．