已知四边形ABCD是正方形,BE=CE ∠AEC=45° 求证三角形BEC为等边三角形

云端揽月花朵

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学圆了吗?
考虑以B为圆心,过A,C的圆.
则弦AC所对圆心角为∠ABC = 90°,因此所对圆周角为90°/2 = 45°.
由∠AEC = 45°,可知E也在圆周上.
因此BE = BC.
又已知BE = CE,即得△BEC等边.

1年前追问

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没

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不用圆的话, 比较容易想的是同一法.
取点E', 使△BE'C等边.
则∠ABE' = 150°, AB = BC = BE',
∴∠BE'A = ∠BAE',
∴∠BE'A = (180°-∠ABE')/2 = 15°,
∴∠AE'C = ∠BE'C-∠BE'A = 45°.
又BE' = CE', 即E'也满足题目条件.
下面证明E'与E重合.
实际上, 由条件可知E, E'都在BC的垂直平分线上.
若E'在E的右侧, 则E在△AE'C内部,
有∠AEC > ∠AE'C = 45°, 矛盾.
反之, 若E'在E的左侧, 则有∠AEC < ∠AE'C = 45°, 同样矛盾.
因此E'与E重合.
于是△BE'C等边, 即△BEC也等边.

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有没有别的方法了

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学过相似吗?

连接AC, 连接并延长BD至F, 使∠ACF = ∠ECB.

∵∠FBC = 45° = ∠AEC,

而∠BCF = ∠BCA+∠ACF = ∠ECB+∠BCA = ∠ECA,

∴△BCF ∽ △ECA (AA),

∴FC/AC = BC/EC.

又∵∠ACF = ∠ECB,

∴△ACF ∽ △ECB (两边对应成比例, 夹角相等),

∴AF/CF = BE/BC.

∵BF垂直平分AC,

∴AF = FC,

∴BE = BC.

又已知BE = CE, 故△BEC等边.

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厉害，给你个网页你在那里回答一下也能给你财富值http://zhidao.baidu.com/question/327074803034814925.html#

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不用谢.
那我就不客气了.

luckyshoe 幼苗

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做辅助线链接ac，
因为abcd为正方形，所以，∠cab=∠acb°=45°
又因为∠aec=45°所以三角形ace为直角三角形，
有因为∠acb=45°所以∠bce=45°
有因为be=ce所以∠cbe=45°
所以三角形bec为等边三角形
以后有问题可以问我，初中我可是高手，呵呵，不过有些已经忘了差不多了，好久没接触书了三角形ace怎么能为直角三...

1年前

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