rexus 幼苗
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ex |
x |
(1)∵函数f(x)的导函数f′(x)=ex-1(e为自然对数的底数,f(x)解析式无常数项),
∴f(x)=ex-x.
由f′(x)>0,可得x>0;f′(x)<0,可得x<0,
∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
∴x=0时,f(x)的最小值为1;
(2)不等式f(x)≥ax恒成立,等价于(a+1)x<ex,
当x=0时,上述不等式显然成立,故只需考虑x∈(0,2]的情况.
将(a+1)x<ex变形为a<
ex
x-1.
令g(x)=
ex
x-1,则g(x)的导函数g′(x)=
(x−1)ex
x2,
令g′(x)>0,解得x>1;令g′(x)<0,解得x<1.
从而g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,2)内单调递增.
∴当x=1时,g(x)取得最小值e-1,
从而实数a的取值范围是(-∞,e-1].
点评:
本题考点: 函数最值的应用;函数单调性的性质.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的最值,正确分离参数是关键.
1年前
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