帮帮忙吧 近世代数2设a和b是一个群的两个元 且ab=ba,又设a的阶|a|=m,b的阶|b|=n,并且（m,n）=1,
帮帮忙吧 近世代数2
设a和b是一个群的两个元 且ab=ba,又设a的阶|a|=m,b的阶|b|=n,并且（m,n）=1,试证明：ab的阶|ab|=mn.
设a和b是一个群的两个元 且ab=ba,又设a的阶|a|=m,b的阶|b|=n,并且（m,n）=1,试证明：ab的阶|ab|=mn.
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设单位元是e,设|ab|=k,分两种情况：
1、m=1或n=1,此时a=e或b=e,结论成立.
2、m、n均不为1时,反证.假设k不等于mn,因为ab=ba,所以(ab)^(mn)=(a^mn)*(b^mn)=e,故k|mn.由k不等于mn且（m,n）=1知k|m或k|n成立,不妨设k|m,则(ab)^m=e.又ab=ba,所以(a^m)*(b^m)=e,由a^m=e知b^m=e,从而n|m,与（m,n）=1矛盾
1、m=1或n=1,此时a=e或b=e,结论成立.
2、m、n均不为1时,反证.假设k不等于mn,因为ab=ba,所以(ab)^(mn)=(a^mn)*(b^mn)=e,故k|mn.由k不等于mn且（m,n）=1知k|m或k|n成立,不妨设k|m,则(ab)^m=e.又ab=ba,所以(a^m)*(b^m)=e,由a^m=e知b^m=e,从而n|m,与（m,n）=1矛盾
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