设a b c 是不全相等的正数,求证:根号a^2+b^2+根号b^2+c^2+根号a^2+c^2>根号2(a+b+c).

分组证,先证：√a^2+b^2≥√2/2(a+b)
即证：a^2+b^2≥1/2(a+b)^2
即证：2（a^2+b^2）≥(a+b)^2
也就是(a-b)^2≥0,该式显然成立
故：√a^2+b^2≥√2/2(a+b)成立（这里运用的是分析法,你也可以直接对这个式子左右平方再作差）
同理可证：√a^2+c^2≥√2/2(a+c)
√c^2+b^2≥√2/2(c+b)
然后三式相加,即得
根号a^2+b^2+根号b^2+c^2+根号a^2+c^2≥根号2(a+b+c).
但这里等号成立的条件是三个不等式中等号同时成立,即a=b=c时成立
由于条件中a,b,c不全相等,故不能取等号,
故故命题得证.

不妨假设a>=b>c
a^2+b^2>=1/2(a+b)^2
√(a^2+b^2)>=√2/2(a+b)...1)
同理：
√(a^2+c^2)>√2/2(a+c)...2)
√(b^2+c^2)>√2/2(b+c)...3)
1)+2)+3):
√(a^2+b^2)+√(a^2+c^2)+√(b^2+c^2)>√2(a+b+c)