椭圆和双曲线焦点弦公式概述
在圆锥曲线的研究中，焦点弦是一个核心概念。它指的是经过椭圆或双曲线一个焦点的直线，与曲线相交于两点所形成的弦。关于焦点弦的长度，存在一组简洁而统一的公式，它们与弦的倾斜角度密切相关，是解决相关几何与代数问题的重要工具。
椭圆焦点弦公式
对于标准方程 x²/a² + y²/b² = 1 (a>b>0) 的椭圆，其焦点为 F₁(-c,0) 和 F₂(c,0)，其中 c² = a² - b²。若一条倾斜角为 θ 的直线经过一个焦点（如右焦点 F₂），则此焦点弦的长度 L 的公式为：L = 2ab² / (a² - c² cos²θ) = 2ep / (1 - e² cos²θ)。这里，e=c/a 是离心率，p=a²/c - c 是焦点到同侧准线的距离。该公式表明，当 θ=90°（弦垂直于x轴）时，弦长最短，即通径长 2b²/a；当 θ=0°（弦与x轴重合）时，弦长最长，等于长轴长2a。
双曲线焦点弦公式
对于标准方程 x²/a² - y²/b² = 1 的双曲线，其焦点为 F₁(-c,0) 和 F₂(c,0)，其中 c² = a² + b²，离心率 e=c/a (>1)。经过一个焦点的直线，若其倾斜角为 θ，且与双曲线两支各交于一点（或同一支交于两点），则焦点弦长度公式为：L = 2ab² / |a² - c² cos²θ| = 2ep / |1 - e² cos²θ|。需要注意的是，分母是一个绝对值表达式，这是因为当 a² - c² cos²θ < 0 时，公式依然给出正的长度值。特别地，当 1 - e² cos²θ = 0，即 cosθ = ±1/e 时，直线与渐近线平行，此时弦长为无穷大（直线与曲线仅有一个交点或没有交点）。