如何证明f(x）表示成一个奇函数与一个偶函数的唯一性

如何证明f(x）表示成一个奇函数与一个偶函数的唯一性
f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2
证明这种表示是唯一的
ihznay6 1年前 已收到3个回答 举报
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Rowbin 幼苗

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对任意函数f(x),令g(x)=[f(x)+f(-x)]/2,h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),所以g(x)是偶函数
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x),所以h(x)是奇函数
两式相加,g(x)+h(x)=f(x)
所以任意函数f(x)都能表示成一个奇函数和一个偶函数的和

1年前 追问

8

ihznay6 举报

这种表示的唯一性怎么证

举报 Rowbin

假设存在偶函数g'(x)≠g(x)和奇函数h'(x)≠h(x)， 使得f(x)=g'(x)+h'(x) f(-x)=g'(-x)+h'(-x)=g'(x)-h'(x) [f(x)+f(-x)]/2=g'(x) [f(x)-f(-x)]/2=h'(x) 因为g(x)=[f(x)+f(-x)]/2 且h(x)=[f(x)-f(-x)]/2 所以g'(x)=g(x) h'(x)=h(x) 这与题设矛盾，所以唯一性得证

爱开不了口_xx 幼苗

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题目应该有问题，一个偶函数和一个奇函数乘积还是一个奇函数，而f(x)是如果改为表示成一个偶函数和一个奇函数的和的形式，则可以表示如下： f(x)

1年前

2

肥肥赖赖 幼苗

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奇函数-f(x)=f(-x),偶函数f(x)=f(-x)

1年前

2
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